0.999... = 1 ← これマジ？ - ゆきくらげのブログ

マジです．

この
$0.999...=1$
という式はもうだいぶ擦られてる気がします．が，最近思ったことがあるのでメモ程度．

結局この式の混乱の背後には3つの異なる集合を同じ物として見てしまっているところにあると思うという話です．

簡単のため0から1の範囲に限って書きます．3つの集合というのは

A. 実数の部分集合[0 .. 1]
　・実数の構成法結局あまり理解できてません（´・ω・｀）
B.十進法
　・ $\frac{1}{10^{-1}}$ の位， $\frac{1}{10^{-2}}$ の位...にそれぞれ0～9のいずれかが対応するので実質 ${10}^{\mathbb{N}}$
　・ + {1} もあります
　・ 0.340 と 0.34 などがあるので以外と ↑ より多いか？
C.十進法を書き表したもの
　・「基本的には」有限小数のみしか書き表せません(紙面は有限なので)

このCでは「基本的には」有限小数のみしか表せない所，0.999...では「...」という記号を使って同じ文字が連続するという事を表してます．
普段は，Cを用いてAを表してるんですが，実際にはA,B,Cは異なる集合である，というのが混乱の元という話．すなわち、C上で考えたら0.999...と1は異なるんですが、Aの対応する元に移したとき同じになるということですね

結論
0.999…, 1をCの元，b1,b2をそれぞれ対応するBの元，a1,a2をそれぞれに対応するAの元としたとき
0.999 ≠ 1
b1 ≠ b2
a1 = a2

以上